El Supuesto de Reinversión y la Evaluación de Proyectos ( Parte 2 )

El supuesto de reinversión se originó al tratar de explicar las razones de las inconsistencias entre la TIR y el VPN cuando se comparan alternativas de inversión. Hay sin embargo, quienes sostienen que tal supuesto es incorrecto y falaz y que no puede ser la explicación del conflicto. A travéz de ejemplos planteados en algunos papers trataremos de conceptualizar lo que propone la opinión contraria.
  

Este ejemplo aparece en Keef y Roush (2001) : suponga un Proyecto A con   flujos de caja esperados de -$80, +$48 y +$72 en años consecutivos y en un entorno económico donde la tasa de descuento apropiada es 12%. La TIR para el proyecto es 29.5%, más del doble que la tasa del mercado de 12%. Para aclarar la irrelevancia del supuesto de reinversión, considere el flujo de caja intermedio de $48 del primer año. Hay un infinito numero de usos a los cuales estos fondos pueden ser derivados. Podemos tomar dos extremos. Primero invertimos los $48 en un nuevo proyecto con un VPN positivo. Segundo, esencialmente malgastamos los fondos en un extravagante consumo. Es un hecho que cualquier cosa que haya hecho con el flujo de caja intermedio de $48, la TIR del proyecto permanece inmutable en 29.50%. No es un requisito del método de la TIR que los flujos de caja intermedios sean reinvertidos. El VPN del Proyecto A a una tasa anual de descuento del 12% es $20.26. Este valor es claramente independiente de los usos del flujo de caja intermedio de $48. Sin embargo no hay ninguna razón sensible para que este exceso no sea reinvertido a la tasa requerida de retorno en el mercado de capitales. 
Plantean que existe otra razón más robusta y tiene que ver con el perfil del VPN el cual esta en función del tiempo y el tamaño de los flujos de caja del proyecto. Cada proyecto tiene un único y característico perfil, ello se puede observar en la Gráfica 1 mostrada en la entrega anterior . La contradicción se genera cuando ambos perfiles se intersectan (Tasa de Fisher) como consecuencia de sus diferentes perfiles y no por el supuesto de reinversión. 

Hay quienes sostienen que la fuente de la discrepancia esta en que la TIR y el VPN no estan midiendo lo mismo. La TIR es el máximo valor que puede tomar la tasa de descuento para que la inversión continúe siendo rentable, es única de cada proyecto, por lo que no es útil para compararla con la de otro proyecto ya que no se estaria comparando ambos proyectos con la misma tasa, como lo hace el VPN.
Un importante y reciente paper es el de Sergei Vasilievich Ch. (2012) del cual resumo sus principales ideas. Plantea este primer ejemplo, considere una inversión de $300 hoy que recibirá $100 anuales durante cinco años, asuma que son flujos de caja reales (serán pagados al inversionista), entonces los $100 al final de cada uno de los cinco años pasan inmediatamente a las manos del propietario del proyecto. Adicionalmente podemos asumir para esta inversión una tasa de descuento constante de 10%. Entonces el valor presente del pago al final del año 2 se obtiene así : 100/(1.1)²= $82.64. Solo se ha supuesto que la caja se distribuye inmediatamente al inversionista. Si se afirma que este modelo implica la reinversión iria contra la ley de Aristoteles de la no-contradicción. Ambos supuestos tomados al mismo tiempo son lógicamente incompatibles. Si la caja se distribuyó, no esta mas en el proyecto y no hay nada que reinvertir.
Otro ejemplo, tenemos el siguiente perfil de inversión, calculamos su VPN a una tasa de descuento de 10%.

                 

       

El supuesto de reinversión establece que los flujos intermedios son reinvertidos hasta el periodo final a la tasa de descuento del proyecto. Entonces los flujos   de $200 del periodo 1 y $300 del periodo 2, reinvertidos hasta el periodo 3 serán :
                                                200.(1.1)²
                                                300.(1.1)¹ 

Por lo que el VPN considerando el flujo total futuro será :

Reordenando los términos, los mismos cálculos se pueden ver así :

Se puede observar que el supuesto de reinversión impuso de manera implícita que los flujos intermedios también son descontados a la misma tasa de reinversión. Si se asume que los flujos intermedios son reinvertidos por ejemplo en bonos de la tesorería libre de riesgo a una tasa de 5%, la tasa de descuento tiene que ser 5% y no 10% ya que para una inversión sin riesgo la tasa de descuento no debería incorporar una prima por riesgo. El cálculo con este supuesto último es diferente, pero el resultado no cambia :

Si se asumen reinversiones riesgosas, entonces la tasa de descuento para los flujos intermedios deberá reflejar el riesgo de las reinversiones , no la del proyecto inicial. Por lo tanto el calculo del VPN no tiene un supuesto de que los flujos intermedios deberían ser reinvertidos a una tasa igual a 10%.
Si los flujos intermedios son gastados en consumo, su tasa de reinversión será 0% y su tasa de descuento también 0%, entonces :

Se ve claramente que el calculo de VPN no asume el supuesto de reinversión. El error de los investigadores fue de considerar la tasa de descuento para los flujos intermedios igual a la tasa del proyecto original, cuando estos flujos tienen su propio riesgo. La tasa de reinversión y de descuento para los flujos intermedios deben ser iguales, mientras que la tasa de descuento del proyecto puede ser otra, esto quiere decir que el VPN de los flujos intermedios será siempre cero, si los flujos intermedios son gastados en consumo, entonces no hay posibilidad de reinversión. Esto se ajusta con la lógica original del VPN.

Si en el ejemplo anterior imaginamos que los $200 recibidos en el periodo 1 son reinvertidos a una tasa de 7% mientras que la tasa apropiada de descuento es de 6%, esto dará un VPN positivo. Ello viola los supuestos básicos del presupuesto de capital. El VPN fué diseñado para estimar puro valor añadido del proyecto, no añadir valor de otro proyecto en el cual los flujos intermedios pueden ser reinvertidos. No sería conveniente mezclar efectos de las inversiones posteriores y las reinversiones de flujos de efectivo intermedios. En su lugar los conceptos del VPN y de la TIR asumen que puede haber numerosos escenarios para el uso de los flujos de efectivo intermedios, pero la hipótesis más razonable es mantener el valor de los flujos de efectivo recibidos en el proyecto evaluado. Esta es la condición necesaria y suficiente.

En el caso de la TIR, el tratamiento es similar al método del VPN, de igual manera no supone la reinversión. La fórmula para el calculo de la TIR  es matemáticamente equivalente a la fórmula con reinversión de los flujos intermedios a la misma TIR, esto se comprobó con un ejemplo numérico. La formula con reinversión es la TIR Modificada (TIRM) que ya fué definida en la entrega anterior :

La TIR se puede representar utilizando la ecuación de la TIRM:

Como se observa esta ecuación implica que el riesgo de las reinversiones es tal que su tasa de descuento es la misma TIR del proyecto. El VPN de las reinversiones será cero, pero es poco probable que en la práctica ocurra esto. La tasa de reinversión en la TIRM debería ser igual a la tasa de descuento que considere el costo de oportunidad del capital y el premio por riesgo de los flujos intermedios a reinvertir.

Se puede reescribir la anterior formulación de la TIR discriminando las tasas de reinversión y descuento d :

Cuando d = TIR representa solo un caso especial en las matemáticas de esta ecuación, sin embargo existe la creencia errónea que hay supuesto de reinversión en la TIR. El valor para d puede ser arbitrario, no necesariamente la TIR, inclusive no se requiere previamente conocerlo, por lo que el método de la TIR no tiene implícito el supuesto de reinversión a la misma TIR.

Algunos investigadores aseguran que la TIRM es una correcta y adecuada medida del retorno, sin embargo es todo lo contrario, la TIRM erróneamente añade un supuesto implícito a la tasa de descuento de los flujos, para resaltar esta contradicción se puede reescribir la ecuación de la TIRM de esta manera :

La discrepancia esta entre el factor (1+d)^n-t en el numerador y (1+TIRM)^n-t en el denominador, resultando en una medida  inadecuada y engañosa. La formulación de la TIRM explícitamente asume que los flujos intermedios son reinvertidos a una tasa específica y luego implícitamente son descontados a la TIRM. Si la TIRM es superior a la tasa de reinversión, entonces el valor de los flujos intermedios serán subestimados y así la rentabilidad modificada no reflejará la verdadera rentabilidad del proyecto.

En resumen, tanto para el VPN y la TIR, las formulas no prohiben la reinversión de lo flujos intermedios, sin embargo la tasa de reinversión debe ser igual a la tasa de descuento, de esta manera ambas se cancelan y se obtienen la formulas originales del VPN y la TIR. Si esto no ocurre, se estarán mezclando dos proyectos que debieron medirse por separado.

El conflicto entre el VPN y la TIR no tiene nada que ver con el supuesto implícito de reinversión que tiene cada método. Hay otras razones. Ante todo, el VPN y la TIR miden diferentes cosas, en este sentido la TIR no esta diseñada para seleccionar proyectos. El conflicto se origina debido a que proyectos con diferente distribución de los flujos de caja (timing) pueden tener diferentes sensibilidades a un cambio en la tasa de descuento. Otras razones son diferentes vidas útiles, tamaño de las inversiones, nivel de riesgo distinto. 
La TIR mide el retorno de una inversión y no toma en cuenta el valor del dinero en el tiempo, inflación y grado de riesgo del proyecto, no debe ser confundida con una tasa de descuento. Contiene una serie de supuestos y no debería ser contrastada con el VPN, el cual si toma en cuenta el valor del dinero en el tiempo, inflación y riesgo. El VPN es un criterio más completo.
Para resolver el conflicto, los investigadores sugieren varias soluciones, desde el análisis incremental hasta sofisticados algoritmos matemáticos, los cuales no estan libres de algunos inconvenientes. Aunque el VPN es una medida mas exhaustiva, tiene también sus limitaciones, sobre todo si se desean comparar proyectos con diferentes combinaciones de vida útil, distribución de los flujos, tamaño de inversiones y riesgos, para ello se necesita de una medida relativa, un índice de rentabilidad, sin embargo una medida relativa y final que resuelva el conflicto aún no se ha inventado.  

Brevemente se ha expuesto los conceptos básicos de esta otra corriente de pensamiento que se oponen al supuesto implícito de reinversión tratado en la entrega anterior. 
Entonces, ¿existe tal supuesto de reinversión? , espero que estas lecturas puedan ayudar al lector a formar su propia opinión. 

Referencias

Keef, S. P. & Roush, M. L. (2001). 'Discounted cash flow methods and the fallacious reinvestment assumption : a review of recent texts'. Accounting Education: An International Journal, 10(1), pp. 105-116.

Sergei Vasilievich Cheremushkin (2012). 'There is No Hidden Reinvestment Assumption in Discounting Formula and IRR: Logical and Mathematical Arguments' . Disponible en SSRN, http://ssrn.com/abstract=1982828