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| Gráfica 1 |
La gráfica adjunta le podrá parecer ya conocida. Se tratan de los perfiles de dos alternativas de inversión A y B mutuamente excluyentes en donde el método del valor presente neto VPN se contradice con el de la tasa interna de retorno TIR.
Cual es la explicación del conflicto ? hay dos corrientes de pensamiento. La primera tiene que ver con los patrones de los flujos de caja de cada proyecto: su tamaño y distribución en el tiempo (size and timing).
Los que defienden esta corriente generalmente utilizan el análisis incremental para resolver la contradicción. La segunda corriente atribuye el origen del conflicto al supuesto de reinversión implícito en cada modelo matemático.
Cual es la explicación del conflicto ? hay dos corrientes de pensamiento. La primera tiene que ver con los patrones de los flujos de caja de cada proyecto: su tamaño y distribución en el tiempo (size and timing).
Los que defienden esta corriente generalmente utilizan el análisis incremental para resolver la contradicción. La segunda corriente atribuye el origen del conflicto al supuesto de reinversión implícito en cada modelo matemático.
El supuesto de reinversión asume que los flujos de caja intermedios se reinvierten hasta el final de la vida del proyecto a la tasa de descuento ó a la TIR, dependiendo del método utilizado. Su origen no es reciente y data desde mediados de los años 50. Keef y Roush (2001) encontraron que casi el 70% de los autores se basan en este supuesto para explicar el conflicto.
Sin embargo, existe otra corriente de pensamiento totalmente opuesta y menos difundida, afirma que tal supuesto de reinversión no existe y proviene de un artefacto matemático sin base lógica. Revisemos estas posiciones.
1. El supuesto implícito y las matemáticas financieras
Al asumir interés compuesto se esta asumiendo implícitamente que el interés se reinvierte periodo a período. Este es el supuesto básico de las matemáticas financieras, ello se puede observar en sus fórmulas elementales en donde el exponente n indica la reinversión: VF=VP(1+i)n y VP=VF/(1+i)n. De esta manera, en los métodos de flujos de caja descontados la reinversión esta implícita, es decir el VPN y la TIR asumen reinversión.
En el siguiente esquema de inversión, la TIR es 21.86% y el VPN a una tasa de descuento de 10% es $133.97.
Se puede comprobar que el método de la TIR esta asumiendo implícitamente la reinversión de los flujos intermedios a la misma TIR mientras que el método del VPN lo hace a la misma tasa de descuento, las tasas de reinversión están inherentes en las matemáticas de estos métodos.
Es mas razonable suponer que los flujos se puedan reinvertir a la tasa de descuento, que representa un costo de capital ó un costo de oportunidad, que a la TIR, mas aún si la TIR resulta inusualmente alta.
La Tasa Interna de Retorno Modificada TIRM.
Calculamos el valor futuro a la tasa de descuento del 10% ($928.20) y luego calculamos la tasa interna de retorno respecto a la inversión inicial ($500), esta es la TIRM :
En el panel de la derecha se presenta dos proyectos A y B mutuamente excluyentes, si la tasa de descuento es 12%, el VPN selecciona al proyecto B, sin embargo la TIR indica al proyecto A.
Al calcular la TIRM de cada proyecto a una tasa de reinversión del 12% se resuelve el conflicto, ahora tanto la TIRM como el VPN seleccionan al proyecto B.
La TIRM tiene algunas limitaciones, falla cuando se tienen alternativas con diferente inversión inicial. En el panel adjunto se tienen dos alternativas con diferente escala, a una tasa de descuento de 5% los métodos se contradicen. Calculando la TIRM a la misma tasa de descuento no resuelve la contradicción, se sigue seleccionando a la alternativa B.
La Tasa Interna de Retorno Ponderada TIRP
Toma en cuenta el supuesto de reinversión y la escala de las alternativas. Su lógica se basa en que si hay fondos para invertir en la alternativa de mayor inversión, entonces para compararla con la de menor inversión, se puede construir otra alternativa que sea la menor más su complemento, de manera que ambas inversiones se igualan. Esta inversión extra es invertida a la misma tasa de descuento, por lo que su VPN será cero. Todas son llevadas a valor futuro y se calcula su TIRM. En el caso de la inversión menor más su complemento se estará calculando su TIRP.
En el panel inferior se muestran los cálculos correspondientes al ejemplo anterior. Para igualar la inversión inicial del proyecto A se requiere la inversión B Complemento de $4,000, su valor futuro será 4,000.(1.05)10 = $6,515.58. El valor futuro del Proyecto B* es la suma $17,609.05 del Proyecto B más $6,515.58 del Proyecto B Complemento, resultando $24,124.63. La TIRP entonces será (24,124.63/10,000)1/10 -1 = 9.21% menor a la TIRM del Proyecto A de 9.66%, por lo que se selecciona A y se resuelve la contradicción.
La expresión matemática es :
Los que defienden este supuesto asumen explícitamente la reinversión en sus cálculos, generalmente utilizan el valor presente modificado VPNM, la tasa interna de retorno modificada TIRM ó la tasa interna de retorno ponderada TIRP.
Sin embargo, existe otra corriente de pensamiento totalmente opuesta y menos difundida, afirma que tal supuesto de reinversión no existe y proviene de un artefacto matemático sin base lógica. Revisemos estas posiciones.
1. El supuesto implícito y las matemáticas financieras
Al asumir interés compuesto se esta asumiendo implícitamente que el interés se reinvierte periodo a período. Este es el supuesto básico de las matemáticas financieras, ello se puede observar en sus fórmulas elementales en donde el exponente n indica la reinversión: VF=VP(1+i)n y VP=VF/(1+i)n. De esta manera, en los métodos de flujos de caja descontados la reinversión esta implícita, es decir el VPN y la TIR asumen reinversión.
En el siguiente esquema de inversión, la TIR es 21.86% y el VPN a una tasa de descuento de 10% es $133.97.
Si los flujos intermedios se reinvierten hasta el último periodo a la misma TIR de 21.86%, se tendrá una suma futura de $1.102.62.
Entonces tenemos un valor presente de $500 y uno futuro en el periodo cuatro de $1,102.62, al calcular la tasa de retorno para estos flujos se encontrará que es 21.86%, la misma que el proyecto original :
1,102.62 = 500.(1+TIR)4
⇒ TIR ≈ 21.86%
Si asumimos ahora la reinversión a una tasa de descuento de 10% se obtendrá que el valor futuro es $928.20. Al calcular el VPN se obtendrá $133.97, también el mismo que proyecto el original.
VPN = -500 + 928.20/1.14 = $133.97
Es mas razonable suponer que los flujos se puedan reinvertir a la tasa de descuento, que representa un costo de capital ó un costo de oportunidad, que a la TIR, mas aún si la TIR resulta inusualmente alta.
La Tasa Interna de Retorno Modificada TIRM.
Calculamos el valor futuro a la tasa de descuento del 10% ($928.20) y luego calculamos la tasa interna de retorno respecto a la inversión inicial ($500), esta es la TIRM :
928.20 = 500.(1+TIRM)4
⇒ TIRM ≈ 16.73%
donde: CF - Flujo de caja
I - Inversion
i - Tasa de descuento
n - vida útil
t - periodo de tiempo
La expresión matemática es :
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I - Inversion
i - Tasa de descuento
n - vida útil
t - periodo de tiempo
En el panel de la derecha se presenta dos proyectos A y B mutuamente excluyentes, si la tasa de descuento es 12%, el VPN selecciona al proyecto B, sin embargo la TIR indica al proyecto A.Al calcular la TIRM de cada proyecto a una tasa de reinversión del 12% se resuelve el conflicto, ahora tanto la TIRM como el VPN seleccionan al proyecto B.
La TIRM tiene algunas limitaciones, falla cuando se tienen alternativas con diferente inversión inicial. En el panel adjunto se tienen dos alternativas con diferente escala, a una tasa de descuento de 5% los métodos se contradicen. Calculando la TIRM a la misma tasa de descuento no resuelve la contradicción, se sigue seleccionando a la alternativa B.La Tasa Interna de Retorno Ponderada TIRP
Toma en cuenta el supuesto de reinversión y la escala de las alternativas. Su lógica se basa en que si hay fondos para invertir en la alternativa de mayor inversión, entonces para compararla con la de menor inversión, se puede construir otra alternativa que sea la menor más su complemento, de manera que ambas inversiones se igualan. Esta inversión extra es invertida a la misma tasa de descuento, por lo que su VPN será cero. Todas son llevadas a valor futuro y se calcula su TIRM. En el caso de la inversión menor más su complemento se estará calculando su TIRP.
En el panel inferior se muestran los cálculos correspondientes al ejemplo anterior. Para igualar la inversión inicial del proyecto A se requiere la inversión B Complemento de $4,000, su valor futuro será 4,000.(1.05)10 = $6,515.58. El valor futuro del Proyecto B* es la suma $17,609.05 del Proyecto B más $6,515.58 del Proyecto B Complemento, resultando $24,124.63. La TIRP entonces será (24,124.63/10,000)1/10 -1 = 9.21% menor a la TIRM del Proyecto A de 9.66%, por lo que se selecciona A y se resuelve la contradicción.
La expresión matemática es :
donde: CF - Flujo de caja
VF - Valor Futuro
I - Inversion
i - Tasa de descuento
n - vida útil
t - periodo de tiempo
VF - Valor Futuro
I - Inversion
i - Tasa de descuento
n - vida útil
t - periodo de tiempo
Bonos : la Rentabilidad al Vencimiento (Yield to Maturity)
Es un concepto financiero muy utilizado para determinar la rentabilidad de un bono. La YTM es en realidad la TIR de una inversión en bonos, la cual supone la compra de un bono a un precio determinado hoy y que será mantenido hasta su vencimiento. Como en el método de la TIR esta implícita la reinversión, la YTM asume la reinversión de los cupones a esta tasa. Ello origina a su vez el concepto del Riesgo de Reinversión que esta asociado al riesgo de no poder reinvertir los cupones a la misma tasa de retorno a la cual se adquirió el título. De esta manera el supuesto de reinversión es similar al tratado en la evaluación de proyectos.
En forma abreviada se ha revisado el sustento y la aplicación del supuesto de reinversión, el cual esta ampliamente difundido en la literatura financiera. Como se ha podido observar, su base matemática lo hace prácticamente incuestionable. En la Parte 2 de esta entrega se verá la opinión contraria.
En forma abreviada se ha revisado el sustento y la aplicación del supuesto de reinversión, el cual esta ampliamente difundido en la literatura financiera. Como se ha podido observar, su base matemática lo hace prácticamente incuestionable. En la Parte 2 de esta entrega se verá la opinión contraria.
Referencias
Keef, S. P. & Roush, M. L. (2001). 'Discounted cash flow methods and the fallacious reinvestment assumption : a review of recent texts'. Accounting Education: An International Journal, 10(1), pp. 105-116.
Velez Pareja, I. (2000). 'The Weighted Internal Rate of Return (WIRR)
And The Expanded Benefit - Cost Ratio (EB/CR)'. Disponible en SSRN, http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=242867.
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